1981年高考数学压轴题高三学生直言:恨不能早生几十年

2022年8月17日 by 没有评论

1981年高考文科数学卷共有9道小题,满分为100分。不过,虽然题量不大,但这9题全部是解答题,没有选择题和填空题。本文分享的就是第9题,分值18分,现在高三学生看过题后直呼:恨不能早生几十年啊。

题目如上图。本题主要考查抛物线的概念、直线与抛物线的位置关系、点到直线的距离、三角形面积公式等知识点。我们首先来回忆两个比较重要的知识点。

两点间距离公式:先将抛物线方程和直线方程联立,得到一个二元二次方程组,解出这个方程组就可以得到直线与抛物线交点的坐标。然后利用两点间距离公式即可求出弦长。

弦长公式:先联立抛物线方程和直线方程,消去y或x,得到关于x或y的一元二次方程。然后利用弦长公式AB=√(1+k^2)√[(x1+x2)^2-4x1x2]或AB=√(1+1/k^2)√(y1+y2)^2-4y1y2]求出弦长。弦长公式有多种形式,但是上面写出的两种形式是最常用的。

当然,弦长公式也是结合两点间距离公式推导得到的,但是相比于直接用两点间距离公式求弦长,弦长公式计算更简单,不需要解出方程组,而是用韦达定理进行求解。

需要注意的是,用公式计算点到直线的距离时,直线方程一定要化为一般方程,这也是不少同学容易忽略的一个细节。

知道了抛物线与直线相交弦长,要求参数k的值,那么根据前面的讲解知道有两个方法可以使用,但是一般来说选择弦长公式计算起来更加简单,所以我们介绍使用弦长公式计算的解法。

首先将抛物线方程和直线方程联立并消去y得到关于x的一元二次方程,然后用韦达定理表示出两根之和、两根之积的形式,最后代入弦长公式即可求出k的值。

从第一问可知,弦长为3√5,所以如果将这条弦作为三角形的底边,那么点P到弦所在直线的距离就是底边上的高,所以需要先设出点P的坐标。

因为点P在x轴上,那么点P的纵坐标就为0,所以设点p(t,0),然后代入点到直线的距离公式,即可求出高,然后再代入三角形面积公式即可得到一个关于t的方程,解出t即可。

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